Numeri primi da 1 a 10.000: tabella completa e PDF da scaricare

Che cos'è un numero primo

Un numero naturale maggiore di 1 è primo quando ha esattamente due divisori distinti: 1 e sé stesso. Tutti gli altri si dicono composti, perché si possono scrivere come prodotto di numeri più piccoli. Il 7 è primo perché nessun numero tra 2 e 6 lo divide senza resto; il 9 non lo è, perché vale 3 × 3.

Il numero 1 resta fuori da entrambe le categorie: ha un solo divisore, quindi non è primo né composto. Non è una convenzione arbitraria. Se il 1 fosse primo, il teorema fondamentale dell'aritmetica — secondo cui ogni intero maggiore di 1 si scompone in fattori primi in un solo modo — smetterebbe di valere, perché si potrebbero aggiungere infiniti fattori 1 a qualsiasi scomposizione.

Il 2 merita una nota a parte: è l'unico numero primo pari. Ogni altro numero pari è divisibile per 2 e quindi composto per definizione. Da 3 in poi, tutti i primi sono dispari.

Come è costruita questa tabella

L'elenco viene generato con il crivello di Eratostene, l'algoritmo descritto dal matematico greco nel III secolo a.C. e ancora oggi il modo più efficiente per elencare tutti i primi fino a un limite fissato. Il procedimento è questo:

• si scrivono tutti i numeri da 2 a 10.000;
• si prende il primo numero non ancora cancellato (il 2) e si cancellano tutti i suoi multipli;
• si passa al successivo sopravvissuto (il 3) e si ripete;
• ci si ferma quando il numero di partenza supera la radice quadrata del limite, cioè 100.

Ciò che resta sul foglio sono i numeri primi. Il calcolo gira interamente nel tuo browser e si completa in pochi millisecondi: nessun dato viene inviato a un server, esattamente come per tutti gli strumenti di OpenPDF.

Come si distribuiscono i primi fino a 10.000

I numeri primi diventano progressivamente più rari man mano che si sale. Il fenomeno è descritto dal teorema dei numeri primi, che stima la loro quantità fino a un valore n come circa n diviso il logaritmo naturale di n. Ecco il conteggio reale, migliaio per migliaio.

Numeri primi per intervallo di mille

Intervallo	Quanti primi	Densità
1 – 1.000	168	16,8%
1.001 – 2.000	135	13,5%
2.001 – 3.000	127	12,7%
3.001 – 4.000	120	12,0%
4.001 – 5.000	119	11,9%
5.001 – 6.000	114	11,4%
6.001 – 7.000	117	11,7%
7.001 – 8.000	107	10,7%
8.001 – 9.000	110	11,0%
9.001 – 10.000	112	11,2%

Il calo non è regolare: tra 5.001 e 6.000 ci sono 114 primi, tra 6.001 e 7.000 ne ricompaiono 117. Localmente i primi si infittiscono e si diradano in modo irregolare, e la regolarità emerge solo su scala molto ampia. È esattamente questa tensione tra caos locale e ordine globale a rendere la materia ancora aperta.

Numeri primi gemelli

Due primi che differiscono di 2 formano una coppia di primi gemelli: 3 e 5, 11 e 13, 41 e 43, fino a 9.929 e 9.931. Sotto 10.000 se ne contano 205 coppie. Se non sia finito o infinito il loro numero è una delle congetture aperte più celebri della matematica: nel 2013 Yitang Zhang ha dimostrato che esistono infinite coppie di primi separate da meno di 70 milioni, e il limite è poi stato abbassato a 246, ma il salto fino a 2 resta indimostrato.

Salti tra primi consecutivi

Nel primo migliaio la distanza massima tra due primi consecutivi è 20 (tra 887 e 907). Salendo verso 10.000 il divario cresce: il salto più ampio dell'intervallo è di 36 unità, tra 9.551 e 9.587. Si dimostra facilmente che esistono sequenze di numeri consecutivi tutti composti lunghe quanto si vuole: basta considerare i numeri da n! + 2 a n! + n, ciascuno divisibile per il proprio scarto dal fattoriale.

Come verificare se un numero è primo

Per numeri di questa taglia il metodo per tentativi basta e avanza. Si prova a dividere il numero per 2, poi per tutti i dispari successivi, fermandosi alla sua radice quadrata: se nessuna divisione dà resto zero, il numero è primo. Il motivo per cui ci si può fermare alla radice quadrata è semplice: se n = a × b e nessuno dei due fattori fosse minore o uguale alla radice di n, il loro prodotto supererebbe n.

Per 9.973 significa provare i divisori fino a 99: una manciata di operazioni. Per i numeri usati in crittografia, lunghi centinaia di cifre, questo approccio è impraticabile e si ricorre a test probabilistici come Miller-Rabin. Il verificatore in cima alla pagina usa la divisione per tentativi e restituisce la scomposizione in fattori primi quando il numero risulta composto.

Dove si usano davvero i numeri primi

• Crittografia a chiave pubblica. RSA si fonda su un'asimmetria: moltiplicare due primi grandi è immediato, risalire ai fattori dal prodotto è computazionalmente proibitivo. È il meccanismo che protegge le connessioni HTTPS e le firme digitali.
• Funzioni hash e tabelle. Scegliere un numero primo come modulo distribuisce le chiavi in modo più uniforme e riduce le collisioni.
• Codici a correzione d'errore. I codici Reed-Solomon, usati nei QR code e nelle trasmissioni satellitari, lavorano su campi finiti la cui struttura dipende dai primi.
• Generatori pseudocasuali. Molti algoritmi congruenziali usano moduli primi per massimizzare il periodo della sequenza.
• Natura. Le cicale del genere Magicicada emergono con cicli di 13 e 17 anni, entrambi primi: una periodicità che riduce le coincidenze con i cicli dei predatori.

Domande frequenti